જેના અક્ષો યામ અક્ષો હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો,જેની નાભિલંબની લંબાઈ $4$ અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4 \sqrt{2}$ છે.

ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 4$ એ યામ અક્ષો સાથે સંરેખિત લંબચોરસમાં અંતર્ગત છે,જે પોતે બીજા ઉપવલયમાં અંતર્ગત છે જે બિંદુ $(4,0)$ માંથી પસાર થાય છે. તો બહારના ઉપવલયનું સમીકરણ શું છે?

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$ માટે નાભિઓના યામ,શિરોબિંદુઓ,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ,ગૌણ અક્ષની લંબાઈ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b$,ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{4}$ છે. જો આ ઉપવલય બિંદુ $\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$ માંથી પસાર થાય,તો $a^{2}+b^{2}$ ની કિંમત શોધો.

એક ઉપવલય (ellipse) ના નાભિલંબની લંબાઈ તેના મુખ્ય અક્ષની લંબાઈના $\frac{1}{3}$ ગણી છે. તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

$P(\theta_1)$ અને $Q(\theta_2)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બે બિંદુઓ છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ છે. જો $PSQ$ એ નાભિ જીવા હોય અને $\tan \left(\frac{\theta_1}{2}\right) \tan \left(\frac{\theta_2}{2}\right)=-(2 \sqrt{2}+3)$ હોય,તો $e$ અને $S$ શું છે?